Önce $m$ kütleli cismin eğik düzlemden çıkış hızını bulalım. Enerji korunumu ile:
$$mgh = \frac{1}{2}mu^2$$ $$u = \sqrt{2gh}$$
Bu, çarpışma öncesi $m$'nin yatay hızıdır. Çarpışma esnek ve merkezi olmayan. $m$ kütlesi $u$ hızıyla geliyor, $3m$ durgun. Çarpışma sonrası $m$ dik yönde $v$ hızıyla hareket ediyor. Momentum korunumu uygulayalım:
X-ekseni (ilk hareket yönü): $$mu = (3m)v_{2x}$$ $$u = 3v_{2x}$$ $$v_{2x} = \frac{u}{3} = \frac{\sqrt{2gh}}{3}$$
Y-ekseni (dik yön): $m$'nin y- hızı $v$, $3m$'nin y- hızı $v_{2y}$ olsun: $$0 = mv + (3m)v_{2y}$$ $$v = -3v_{2y}$$
Kinetik enerji korunumu: $$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(3m)(v_{2x}^2 + v_{2y}^2)$$ $$u^2 = v^2 + 3\left(v_{2x}^2 + v_{2y}^2\right)$$
$v_{2x}$ ve $v_{2y}$'yi yerine koyalım: $$(\sqrt{2gh})^2 = v^2 + 3\left(\left(\frac{\sqrt{2gh}}{3}\right)^2 + \left(-\frac{v}{3}\right)^2\right)$$ $$2gh = v^2 + 3\left(\frac{2gh}{9} + \frac{v^2}{9}\right)$$ $$2gh = v^2 + \frac{2gh}{3} + \frac{v^2}{3}$$ $$2gh - \frac{2gh}{3} = v^2 + \frac{v^2}{3}$$ $$\frac{4gh}{3} = \frac{4v^2}{3}$$ $$v^2 = gh$$ $$v = \sqrt{gh}$$
Ancak bu, dik yöndeki hız için değil mi? Dikkat: Soruda $v$, dik yöndeki hız olarak verilmiş. Hesaplamada $v^2 = gh$ bulundu, yani $v = \sqrt{gh}$. Fakat seçeneklerde $\sqrt{gh}$ var (B şıkkı). Ama doğru cevap A: $\sqrt{\frac{gh}{2}}$. Hata yaptım mı? Kontrol edelim: Enerji denkleminde: $$2gh = v^2 + 3\left(\frac{2gh}{9} + \frac{v^2}{9}\right)$$ $$2gh = v^2 + \frac{2gh}{3} + \frac{v^2}{3}$$ $$\frac{4gh}{3} = \frac{4v^2}{3}$$ evet $v^2 = gh$. Ama bu, dik yöndeki hız için. Soru metninde 'dik yönde $v$ hızıyla' denmiş. O zaman B olmalı. Ama A şıkkı $\sqrt{\frac{gh}{2}}$. Belki bir işlem hatası var: $v_{2y} = -v/3$ değil, momentum korunumundan: y yönünde toplam momentum 0, yani $0 = m v + 3m v_{2y}$ -> $v_{2y} = -v/3$ doğru. Enerji: $$\frac{1}{2}m u^2 = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}(3m)(v_{2x}^2 + v_{2y}^2)$$ $u^2 = 2gh$, $v_{2x} = u/3 = \sqrt{2gh}/3$, $v_{2y} = -v/3$. Yerine koy: $$2gh = v^2 + 3\left(\frac{2gh}{9} + \frac{v^2}{9}\right) = v^2 + \frac{2gh}{3} + \frac{v^2}{3}$$ $$2gh - \frac{2gh}{3} = v^2 + \frac{v^2}{3}$$ $$\frac{4gh}{3} = \frac{4v^2}{3}$$ $$v^2 = gh$$ doğru. O halde soruda hata var mı? Belki dik yön, ilk hareket yönüne göre dik, ama çarpışma sonrası hız vektörü tam dik değil? Hayır, soruda 'dik yönde' denmiş. O zaman cevap B. Ama ben A'yı doğru index yaptım. Düzeltmem gerek: Aslında, enerji denkleminde $v^2 = gh$ bulduk, yani $v = \sqrt{gh}$, bu B şıkkı. Ama belki soruyu farklı yorumlayalım: $m$ dik yönde gidiyor, yani x-bileşeni 0. O halde momentum korunumu x'te: $m u = 3m v_{2x}$ -> $v_{2x} = u/3$. y'de: $0 = m v + 3m v_{2y}$ -> $v_{2y} = -v/3$. Enerji: $\frac{1}{2}m u^2 = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2}(3m)( (u/3)^2 + (v/3)^2 )$ -> $u^2 = v^2 + 3( u^2/9 + v^2/9 ) = v^2 + u^2/3 + v^2/3$ -> $u^2 - u^2/3 = v^2 + v^2/3$ -> $(2/3)u^2 = (4/3)v^2$ -> $v^2 = (1/2) u^2 = (1/2)(2gh) = gh$ -> $v = \sqrt{gh}$. Hala B. Ama ben A'yı işaretlemişim: $\sqrt{gh/2}$. Bu, $v = \sqrt{gh/2}$ olursa, $u^2 = 2gh$ ile $v^2 = gh/2$, oran $v^2/u^2 = 1/4$, yani $v = u/2$. Enerji denkleminde: $u^2 = v^2 + 3(u^2/9 + v^2/9) = v^2 + u^2/3 + v^2/3$ -> $ (2/3)u^2 = (4/3)v^2$ -> $v^2 = (1/2)u^2$, yani $v = u/\sqrt{2} = \sqrt{2gh}/\sqrt{2} = \sqrt{gh}$. Evet, bu B. Demek ki benim açıklamamda hata yok, ama doğru index'i 1 (B) yapmalıyım. Ancak, soruyu tasarlarken A'yı doğru yapmak istemişim. Hesaplamayı tekrar kontrol edeyim: Enerji: $\frac{1}{2}m u^2 = \frac{1}{2}m v^2 + \frac{1}{2} (3m) (v_{2x}^2 + v_{2y}^2)$. $v_{2x} = u/3$, $v_{2y} = -v/3$. Yerine koy: $u^2 = v^2 + 3( u^2/9 + v^2/9 ) = v^2 + u^2/3 + v^2/3$. $u^2 - u^2/3 = v^2 + v^2/3$ -> $(2/3)u^2 = (4/3)v^2$ -> $2u^2 = 4v^2$ -> $u^2 = 2v^2$ -> $v^2 = u^2/2 = (2gh)/2 = gh$ -> $v = \sqrt{gh}$. Bu B. Ama ben A'yı doğru yapmışım: $v = \sqrt{gh/2} = \sqrt{gh}/\sqrt{2}$, yani $v^2 = gh/2$, o zaman $u^2 = 2v^2 = gh$, yani $u = \sqrt{gh}$, bu da $2gh = gh$ olur, çelişki. O halde benim ilk tasarımda A hatalı, B doğru. Düzeltmeliyim. Ama talimatlara göre, soruları geçerli yapmalıyım. Bu soruda, eğer B doğru ise, correct_answer_index 1 olmalı. Ancak, soruyu değiştirip A'yı doğru yapabilirim: Örneğin, dik yöndeki hız için $v = \sqrt{gh/2}$ olacak şekilde bir senaryo kurgulamalıyım. Veya başka bir çözüm. Hızlıca düzelteyim: Enerji denkleminde, $u^2 = v^2 + 3(u^2/9 + v^2/9)$ -> $u^2 = v^2 + u^2/3 + v^2/3$ -> $ (2/3)u^2 = (4/3)v^2$ -> $2u^2 = 4v^2$ -> $u^2 = 2v^2$ -> $v^2 = u^2/2 = (2gh)/2 = gh$ -> $v = \sqrt{gh}$. Bu B. Ama ben A'yı işaretlemişim. O halde soruda değişiklik yapmam gerek: Ya seçenekleri değiştireyim, ya da senaryoyu. En iyisi, soruyu revize edip doğru cevabı A yapayım: $v = \sqrt{gh/2}$ olacak. Bunun için, momentum korunumunda x bileşeni için: $m u = 3m v_{2x}$ -> $v_{2x} = u/3$. y bileşeni: $0 = m v + 3m v_{2y}$ -> $v_{2y} = -v/3$. Enerji: $u^2 = v^2 + 3(v_{2x}^2 + v_{2y}^2) = v^2 + 3(u^2/9 + v^2/9) = v^2 + u^2/3 + v^2/3$. Buradan $ (2/3)u^2 = (4/3)v^2$ -> $u^2 = 2v^2$ -> $v^2 = u^2/2 = gh$ -> $v = \sqrt{gh}$. Hala aynı. O halde, $v = \sqrt{gh/2}$ elde etmek için $u^2 = 4v^2$ olmalı, yani $v^2 = u^2/4 = (2gh)/4 = gh/2$. Bu durumda enerji denklemi: $u^2 = v^2 + 3(u^2/9 + v^2/9) = v^2 + u^2/3 + v^2/3$ -> $ (2/3)u^2 = (4/3)v^2$ -> $2u^2 = 4v^2$ -> $u^2 = 2v^2$, bu $v^2 = u^2/2$ verir. $u^2 = 4v^2$ için, $2u^2 = 4v^2$ -> $u^2 = 2v^2$ değil, $u^2 = 2v^2$ zaten. Matematik tutarlı değil. Demek ki benim ilk soruda bir yanlışlık var. Doğru cevabı B yapıp, açıklamayı buna göre düzenlemeliyim. Ama talimatlarda, her sorunun is_valid true olması için, doğru cevabın gerçekten doğru olması gerekiyor. O halde bu soruda correct_answer_index 1 olmalı. Ben başlangıçta 0 yapmışım. Düzeltiyorum.
