Türev ve Uygulamaları Soru Çözümü

Zincir kuralı: $h(x) = e^{k(x)}$ where $k(x) = x^2+1$. Then $h'(x) = e^{k(x)} \cdot k'(x)$. $k'(x) = 2x$. So $h'(x) = e^{x^2+1} \cdot 2x = 2x e^{x^2+1}$.

Birinci türev: $f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$. Kritik noktalar için $f'(x)=0$ çözülürse: $\cos(x) = \sin(x)$, yani $x = \frac{\pi}{4}$ ve $x = \frac{5\pi}{4}$ (aralık $[0, 2\pi]$ içinde).

İkinci türev: $f''(x) = -\sin(x) - \cos(x)$.

İkinci türev testini uygulayalım:

• $f''\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} < 0$, dolayısıyla $x=\frac{\pi}{4}$'te yerel maksimum.
• $f''\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 0$, dolayısıyla $x=\frac{5\pi}{4}$'te yerel minimum.

Sonuç olarak, hem yerel maksimum hem yerel minimum vardır.

Bu soruyu çözmek için iki yöntem kullanabiliriz. Yöntem 1: Önce fonksiyonu açalım:

$$f(x) = (x-3)(x^2+2x) = x^3 + 2x^2 - 3x^2 - 6x = x^3 - x^2 - 6x$$

Şimdi türev alalım:

$$f'(x) = 3x^2 - 2x - 6$$

$x=1$ için:

$$f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) - 6 = 3 - 2 - 6 = -5$$

Yöntem 2: Çarpım kuralını kullanalım. Çarpım kuralı: $(uv)' = u'v + uv'$. $u=x-3$, $v=x^2+2x$ olsun. $u'=1$, $v'=2x+2$. O zaman:

$$f'(x) = (1)(x^2+2x) + (x-3)(2x+2)$$

$x=1$ için: $f'(1) = (1+2) + (1-3)(2+2) = 3 + (-2)(4) = 3 - 8 = -5$.

Her iki yöntem de aynı sonucu verdiğinden, doğru cevap -5 tir.