İçeriğe geç
OptikOptik.
KPSS · İlköğretim Matematik Öğretmenliği

Lineer Cebir: Vektör Uzayları Soru Çözümü

Lineer Cebir: Vektör Uzayları, KPSS İlköğretim Matematik Öğretmenliği hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

$3 \times 3$ bir matrisin özdeğerleri ve geometrik çokkatlılıkları şöyledir: $\lambda=2$ için cebirsel çokkatlılık 2, geometrik çokkatlılık 1; $\lambda=1$ için cebirsel ve geometrik çokkatlılık 1. Buna göre, bu matrisin özvektörlerinin gerdiği alt uzayın boyutu kaçtır?

  1. A

    $1$

  2. $2$

    Doğru cevap
  3. C

    $3$

  4. D

    $4$

  5. E

    $0$

Çözüm

Geometrik çokkatlılık, bir özdeğere karşılık gelen lineer bağımsız özvektör sayısıdır. Verilen bilgilere göre:

  • $\lambda=2$ için geometrik çokkatlılık 1, yani bir lineer bağımsız özvektör.
  • $\lambda=1$ için geometrik çokkatlılık 1, yani bir lineer bağımsız özvektör.

Bu özvektörler farklı özdeğerlere ait oldukları için birbirinden lineer bağımsızdır. Toplam lineer bağımsız özvektör sayısı $1+1=2$'dir. Dolayısıyla, bu özvektörlerin gerdiği alt uzayın boyutu 2'dir.

Soru 2

$\mathbb{R}^3$'te, $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ lineer dönüşümünün $\lambda = 2$ özdeğerine karşılık gelen özvektörlerinin oluşturduğu alt uzayın boyutu 2'dir. Aynı dönüşüm için $\lambda = 3$ özdeğerine karşılık gelen özvektörlerin oluşturduğu alt uzayın boyutu 1'dir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

  1. A

    $T$'nin geometrik çokkatlıkları toplamı 3'tür.

  2. $T$ köşegenleştirilebilir.

    Doğru cevap
  3. C

    $T$'nin karakteristik polinomunun derecesi 3'tür.

  4. D

    $T$'nin özdeğerleri $2$ ve $3$'tür.

  5. E

    $T$'nin cebirsel çokkatlıkları toplamı 3'tür.

Çözüm

Geometrik çokkatlık (özuzay boyutu), verilen bilgilere göre $\lambda=2$ için 2, $\lambda=3$ için 1'dir. Toplam geometrik çokkatlık 3'tür, bu $\mathbb{R}^3$'ün boyutuna eşittir, bu nedenle köşegenleştirilebilir olması için yeterli değildir; cebirsel çokkatlıkların da geometrik çokkatlıklara eşit olması gerekir. Ancak, $\lambda=2$ için cebirsel çokkatlık en az 2, $\lambda=3$ için en az 1 olabilir, toplam en az 3'tür, ama bu bilgilerle kesin köşegenleştirilebilir diyemeyiz çünkü cebirsel çokkatlıklar tam olarak bilinmiyor (örneğin, $\lambda=2$'nin cebirsel çokkatlığı 3, geometrik çokkatlığı 2 olabilir, bu durumda köşegenleştirilemez). Diğer seçenekler: A ve E doğru çünkü toplam cebirsel/geometrik çokkatlıklar 3'tür. C doğru çünkü karakteristik polinomun derecesi 3'tür. D yanlış değildir çünkü başka özdeğer olmayabilir, toplam cebirsel çokkatlık 3 olduğu için sadece bu iki özdeğer olabilir, bu nedenle kesin yanlış değildir.

Soru 3

$\mathbb{R}^5$ uzayında, $U$ ve $W$ alt uzayları için $\dim(U) = 3$, $\dim(W) = 3$ ve $\dim(U + W) = 4$ olarak veriliyor. $U \cap W$ kesişiminin boyutu kaçtır?

  1. A

    $1$

  2. $2$

    Doğru cevap
  3. C

    $3$

  4. D

    $4$

  5. E

    $5$

Çözüm

Alt uzayların boyut formülünü kullanabiliriz: $$\dim(U \cap W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U + W)$$ Verilen değerleri yerine koyarsak: $$\dim(U \cap W) = 3 + 3 - 4 = 2$$ Böylece kesişimin boyutu 2'dir.

Lineer Cebir: Vektör Uzayları konusunu uygulamada çöz

Optik'te KPSS İlköğretim Matematik Öğretmenliği dersinde lineer cebir: vektör uzayları konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

İlköğretim Matematik Öğretmenliği — diğer konular

Tümünü gör