Soru 1
Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi ve 5 yeşil top vardır. Rastgele çekilen 3 topun en az 2'sinin aynı renk olma olasılığı kaçtır?
- A
$1 - \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{1}}{\binom{12}{3}}$
- Doğru cevap
$\frac{\binom{3}{2}\binom{9}{1} + \binom{4}{2}\binom{8}{1} + \binom{5}{2}\binom{7}{1} + \binom{3}{3} + \binom{4}{3} + \binom{5}{3}}{\binom{12}{3}}$
- C
$\frac{\binom{3}{2} + \binom{4}{2} + \binom{5}{2}}{\binom{12}{3}}$
- D
$\frac{\binom{12}{3} - \binom{3}{1} \binom{4}{1} \binom{5}{1}}{\binom{12}{3}}$
- E
$\frac{\binom{3}{2}\binom{9}{1} + \binom{4}{2}\binom{8}{1} + \binom{5}{2}\binom{7}{1}}{\binom{12}{3}}$
Çözüm
Bu problem, olasılık ve kombinasyon kullanılarak çözülür. Toplam 12 top: 3 K, 4 M, 5 Y. 3 top çekiyoruz, en az 2'si aynı renk olmalı. Bu, tamamının farklı renk olma durumunun tümleyenidir.
Yöntem 1: Tümleyen Olasılık
En az 2'si aynı renk olma olasılığı = 1 - (tümünün farklı renk olma olasılığı). Tümünün farklı renk olması için, her renkten birer top çekmeliyiz: $$\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{1}$$ yoldan seçilebilir. Tüm olası çekimler: $$\binom{12}{3}$$ . Yani, tümünün farklı renk olma olasılığı: $$\frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{1}}{\binom{12}{3}}$$ . O halde, en az 2'si aynı renk olma olasılığı: $$1 - \frac{\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{1}}{\binom{12}{3}}$$ . Bu, A şıkkında var.
Yöntem 2: Doğrudan Hesaplama
En az 2'si aynı renk olma durumları:
- Tam 2'si aynı renk, 1'i farklı renk: Bu, her renk için ayrı ayrı hesaplanır. Örneğin, tam 2 kırmızı ve 1 diğer: $$\binom{3}{2} \cdot \binom{9}{1}$$ , ama bu diğer topun kırmızı olmama koşuluyla? Hayır, $$\binom{3}{2}$$ 2 kırmızı seçer, $$\binom{9}{1}$$ ise kalan 9 top (4 mavi, 5 yeşil) arasından 1 top seçer, bu top kırmızı olamaz çünkü kırmızıların hepsi çekilmiş sayılmaz, sadece 2 kırmızı çekiyoruz, kalan 1 kırmızı var, ama bu durumda 3. top kırmızı olursa, o zaman 3 kırmızı olur, ki bu "tam 2 kırmızı" durumuna dahil değil. Aslında, tam 2 kırmızı için: 2 kırmızı seç, ve kalan 1 topu kırmızı olmayanlar arasından seç: kırmızı olmayanlar: 4 mavi + 5 yeşil = 9 top. Yani: $$\binom{3}{2} \cdot \binom{9}{1}$$ . Benzer şekilde, tam 2 mavi: $$\binom{4}{2} \cdot \binom{8}{1}$$ (mavi olmayanlar: 3 kırmızı + 5 yeşil = 8 top). Tam 2 yeşil: $$\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{1}$$ (yeşil olmayanlar: 3 kırmızı + 4 mavi = 7 top).
- Tam 3'ü aynı renk: Bu, tüm kırmızılar: $$\binom{3}{3}$$ , tüm maviler: $$\binom{4}{3}$$ , tüm yeşiller: $$\binom{5}{3}$$ .
Doğru cevap B şıkkıdır. En az 2 topun aynı renk olma olasılığı, doğrudan durumlar sayılarak veya tümleyen olasılıkla hesaplanabilir. B şıkkı, tüm durumları içeren doğrudan formülü verir.