Analitik Geometri Soru Çözümü

Önce denklemi düzenleyip kareye tamamlayalım: $4x^2 - 16x + 9y^2 + 18y = 11$. $4(x^2 - 4x) + 9(y^2 + 2y) = 11$. $x$ için: $(x^2 - 4x) = (x-2)^2 - 4$, $y$ için: $(y^2 + 2y) = (y+1)^2 - 1$. Yerine koyarsak: $4[(x-2)^2 - 4] + 9[(y+1)^2 - 1] = 11$, yani $4(x-2)^2 - 16 + 9(y+1)^2 - 9 = 11$, buradan $4(x-2)^2 + 9(y+1)^2 = 36$. Her iki tarafı $36$'ya bölelim: $\frac{(x-2)^2}{9} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$. Şimdi koordinat eksenlerini öteleyerek $X = x - 2$ ve $Y = y + 1$ tanımlarsak, denklem $\frac{X^2}{9} + \frac{Y^2}{4} = 1$ standart formuna gelir.

Uzaklık formülü: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Nokta $(k, 2k)$, doğru $x - y + 3 = 0$ için $A=1$, $B=-1$, $C=3$. O halde $d = \frac{|1\cdot k + (-1)\cdot 2k + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|k - 2k + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|3 - k|}{\sqrt{2}}$. Verilen $d = \sqrt{2}$, so $\frac{|3 - k|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \implies |3 - k| = 2$. Buradan $3 - k = 2$ veya $3 - k = -2$, yani $k=1$ veya $k=5$. Değerlerin toplamı $1+5=6$.

Bu parametrik denklemler bir hiperbolü temsil eder. $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ ve $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ olduğundan, trigonometrik özdeşlik $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ kullanılır. Parametrik denklemleri düzenleyelim:

• $\sec\theta = \frac{x}{2}$
• $\tan\theta = \frac{y}{3}$

Karelerini alıp çıkaralım:

$$\sec^2\theta - \tan^2\theta = \left(\frac{x}{2}\right)^2 - \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 1$$

$$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$$

Bu, merkezi orijinde, yatay eksenli bir hiperbol denklemidir. Doğru cevap $\mathbf{\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1}$'dir.