Lineer Cebir: Matrisler Soru Çözümü

Cramer kuralı ile $z = \frac{\Delta_z}{\Delta}$ olarak bulunur. Önce $\Delta$ hesaplayalım:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 3((-1)(1) - (2)(3)) - 2((1)(1) - (2)(2)) + (-1)((1)(3) - (-1)(2)) = 3(-1-6) - 2(1-4) -1(3+2) = -21 +6 -5 = -20.$$

$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = 3((-1)(6) - (5)(3)) - 2((1)(6) - (5)(2)) + 4((1)(3) - (-1)(2)) = 3(-6-15) - 2(6-10) + 4(3+2) = -63 +8 +20 = -35.$$

Buradan $z = \frac{-35}{-20} = \frac{7}{4}$.

Sarrus kuralı uygulayalım:

İlk çaprazlar: $1 \times 5 \times 9 = 45$, $2 \times 6 \times 7 = 84$, $3 \times 4 \times 8 = 96$. Toplam: $45 + 84 + 96 = 225$.

İkinci çaprazlar: $3 \times 5 \times 7 = 105$, $2 \times 4 \times 9 = 72$, $1 \times 6 \times 8 = 48$. Toplam: $105 + 72 + 48 = 225$.

Determinant: $225 - 225 = 0$.

Bu matrisin determinantı sıfırdır çünkü üçüncü satır, ilk iki satırın lineer kombinasyonudur veya satırlar lineer bağımlıdır.

Cramer kuralına göre, üç bilinmeyenli sistem için $x = \frac{\Delta_x}{\Delta}$ ile hesaplanır, burada $\Delta$ katsayılar matrisinin determinantı, $\Delta_x$ ise birinci sütunun sabit terimlerle değiştirilmesiyle elde edilen determinanttır.

Katsayılar matrisi: $$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$

$\Delta = 2((-1)(1) - (2)(2)) - 1((1)(1) - (2)(3)) + (-1)((1)(2) - (-1)(3)) = 2(-1-4) - 1(1-6) -1(2+3) = -10 +5 -5 = -10.$

$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 3((-1)(1) - (2)(2)) - 1((4)(1) - (2)(5)) + (-1)((4)(2) - (-1)(5)) = 3(-1-4) - 1(4-10) -1(8+5) = -15 +6 -13 = -22.$

Sonuç olarak, $x = \frac{-22}{-10} = \frac{11}{5}$.