Diferansiyel Denklemler Soru Çözümü

Wronskian formülünü uygulayalım: $W(y_1, y_2) = y_1 y_2' - y_2 y_1'$. Türevler: $y_1' = 1$, $y_2' = 2x$. O halde:

$$W = x \cdot 2x - x^2 \cdot 1 = 2x^2 - x^2 = x^2$$

Bu sonuç, $x=0$ noktası dışında sıfırdan farklıdır. Genel olarak, bir aralıkta (örneğin tüm reel sayılarda) Wronskian'ın sadece bir noktada sıfır olması lineer bağımsızlığı bozmaz; fonksiyonlar lineer bağımsızdır. Doğru cevap $x^2$'dir.

Sabit katsayılı ikinci mertebeden homojen diferansiyel denklemler için karakteristik denklem, $y = e^{rx}$ formundaki çözümü denklemde yerine koyarak bulunur:

$$y'' - 5y' + 6y = 0$$

$y = e^{rx}$, $y' = re^{rx}$, $y'' = r^2 e^{rx}$ olduğundan:

$$r^2 e^{rx} - 5r e^{rx} + 6e^{rx} = 0$$

$$e^{rx}(r^2 - 5r + 6) = 0$$

$e^{rx} \neq 0$ olduğu için karakteristik denklem:

$$r^2 - 5r + 6 = 0$$

Bu denklem çarpanlarına ayrılabilir:

$$(r - 2)(r - 3) = 0$$

Kökler: $r = 2$ ve $r = 3$.

Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

Laplace dönüşüm tanımından:

$$F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} e^{3t} \, dt = \int_0^{\infty} e^{-(s-3)t} \, dt$$

Bu integrali çözelim:

$$F(s) = \left[ -\frac{1}{s-3} e^{-(s-3)t} \right]_0^{\infty}$$

Üst sınır için, $s > 3$ ise $e^{-(s-3)\infty} = 0$ olur. Alt sınır için:

$$F(s) = 0 - \left(-\frac{1}{s-3}\right) = \frac{1}{s-3}$$

Bu nedenle doğru cevap A şıkkı'dır. Diğer şıklar, üstel fonksiyonların Laplace dönüşüm formüllerinde yaygın hatalardır.