Diziler ve Seriler Soru Çözümü

The binomial series for $(1+x)^r$ is given by $$(1+x)^r = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{r}{n} x^n$$ where $$\binom{r}{n} = \frac{r(r-1)\cdots(r-n+1)}{n!}$$. For $r = -2$, compute the coefficients: $\binom{-2}{0} = 1$, $\binom{-2}{1} = -2$, $\binom{-2}{2} = 3$, $\binom{-2}{3} = -4$, and so on, resulting in the series $1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \cdots$. This series converges for $|x| < 1$ because the binomial series converges when $|x| < 1$ for real $r$ that is not a non-negative integer. The endpoints $x = \pm 1$ may require separate convergence tests, but the interval of convergence is $(-1, 1)$.

Taylor polinomu için $\sin(y)$'nin $y=0$'daki serisi:

$$\sin(y) = y - \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} - \cdots$$

Burada $y=3x$ yerine koyarız ve $n=4$ olduğu için $x^4$'e kadar olan terimleri alırız ($x^5$ terimi dahil değil):

$$\sin(3x) = 3x - \frac{(3x)^3}{3!} + \cdots = 3x - \frac{27x^3}{6} + \cdots = 3x - \frac{9}{2}x^3$$

Diğer şıklar neden yanlış? B şıkkı sadeleştirilmemiş ($\frac{27}{6} = \frac{9}{2}$), C şıkkı $n=4$'ü aşan $x^5$ terimini içeriyor, D şıkkı $\cos$ fonksiyonu için tipik bir polinom (işaret ve terimler hatalı), E şıkkı $\sin(x)$ için standart polinomu vermiş ($\sin(3x)$ değil).

$b_n = (-1)^n \cdot n$ dizisini analiz edelim:

• Çift indeksler için ($n=2k$): $b_{2k} = (-1)^{2k} \cdot 2k = 2k \implies \lim_{k\to\infty} b_{2k} = +\infty$
• Tek indeksler için ($n=2k+1$): $b_{2k+1} = (-1)^{2k+1} \cdot (2k+1) = -(2k+1) \implies \lim_{k\to\infty} b_{2k+1} = -\infty$

İki alt dizinin limitleri farklıdır (biri $+\infty$, diğeri $-\infty$). Bir dizinin yakınsak olması için tüm alt dizilerin limiti aynı sonlu sayı olmalıdır. Burada limitler sonlu bile değil, farklı sonsuzluklara gidiyor, bu da ıraksaklığı gösterir. Diğer seçeneklerde ya limitler aynıdır (C, D, E) ya da hesaplama hatalıdır (B, çünkü $n=3k$ için limit sabit değildir).