İçeriğe geç
OptikOptik.
KPSS · İlköğretim Matematik Öğretmenliği

Düzlem Geometrisi Soru Çözümü

Düzlem Geometrisi, KPSS İlköğretim Matematik Öğretmenliği hazırlığında karşına çıkan konulardan biri. Aşağıda bu konudan seçilmiş çözümlü örnek sorular ve adım adım açıklamalar var. Tamamını çözdükten sonra Optik uygulamasında bu konudan daha fazla soruyu yapay zekâ destekli çözümlerle çalışabilirsin.

Soru 1

A rectangle has a fixed perimeter of 24 cm. What is the maximum possible area of this rectangle?

  1. A

    $20 \, \text{cm}^2$

  2. B

    $32 \, \text{cm}^2$

  3. $36 \, \text{cm}^2$

    Doğru cevap
  4. D

    $40 \, \text{cm}^2$

  5. E

    $48 \, \text{cm}^2$

Çözüm

For a rectangle with a fixed perimeter, the maximum area is achieved when it is a square. Let the sides be $l$ and $w$, with perimeter $P = 2(l + w) = 24$, so $l + w = 12$. The area is $A = lw$. To maximize $A$ for fixed $l + w$, by the AM-GM inequality or by setting $l = w$, we get the maximum when $l = w = 6$. Thus, the rectangle is a square with side 6 cm, and area $A = 6 \times 6 = 36 \, \text{cm}^2$.

Soru 2

Analitik düzlemde, $A(2,3)$ ve $B(6,7)$ noktaları çap uçları olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? (Çember denklemi: $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, burada $(h,k)$ merkez, $r$ yarıçaptır.)

  1. $(x-4)^2 + (y-5)^2 = 8$

    Doğru cevap
  2. B

    $(x-4)^2 + (y-5)^2 = 4$

  3. C

    $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 8$

  4. D

    $(x-6)^2 + (y-7)^2 = 8$

  5. E

    $(x-4)^2 + (y-5)^2 = 16$

Çözüm

Önce merkezi bulalım: Çapın orta noktası merkezdir. $$h = \frac{2+6}{2} = 4, \quad k = \frac{3+7}{2} = 5$$ Yani merkez $(4,5)$. Yarıçap, merkezden bir uca olan uzaklıktır: $$r = \sqrt{(2-4)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$$. Denklem: $(x-4)^2 + (y-5)^2 = (\sqrt{8})^2 = 8$. Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

Soru 3

Bir $ABC$ üçgeninde, $D$ noktası $BC$ üzerinde, $E$ noktası $CA$ üzerinde, $F$ noktası $AB$ üzerindedir. $AD$, $BE$, $CF$ doğruları bir $O$ noktasında kesişmektedir. Eğer $\frac{BD}{DC} = \frac{2}{1}$ ve $\frac{AE}{EC} = \frac{3}{1}$ ise, Ceva teoremini kullanarak $\frac{AF}{FB}$ oranını bulunuz.

  1. A

    $\frac{1}{6}$

  2. B

    $\frac{1}{3}$

  3. C

    $\frac{1}{2}$

  4. D

    $\frac{2}{3}$

  5. $\frac{3}{2}$

    Doğru cevap

Çözüm

Ceva teoremine göre, bir üçgende üç kenar üzerindeki noktalar için, $\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$ eşitliği geçerlidir. Verilenler: $\frac{BD}{DC} = \frac{2}{1} = 2$ ve $\frac{AE}{EC} = \frac{3}{1} = 3$, buradan $\frac{CE}{EA} = \frac{1}{3}$. Denklemi yazarsak: $\frac{AF}{FB} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} = 1$, bu da $\frac{AF}{FB} = \frac{3}{2}$ olur.

Düzlem Geometrisi konusunu uygulamada çöz

Optik'te KPSS İlköğretim Matematik Öğretmenliği dersinde düzlem geometrisi konusundan daha fazla soru, anlık AI çözümleri ve konu tekrarı seni bekliyor.

Ücretsiz başlaApp StoreGoogle Play

İlköğretim Matematik Öğretmenliği — diğer konular

Tümünü gör