İntegral ve Uygulamaları Soru Çözümü

Önce paydayı çarpanlarına ayıralım: $x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$.
Basit kesirlere ayırma yöntemini uygulayalım: $\frac{x^2 + 2x + 1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$.
Payda eşitleyip katsayıları karşılaştıralım: $x^2 + 2x + 1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$.
Parantezleri açalım: $A(x^2-1) + B(x^2+x) + C(x^2-x) = (A+B+C)x^2 + (B-C)x + (-A)$.
Katsayıları karşılaştıralım: $A+B+C = 1$, $B-C = 2$, $-A = 1 \Rightarrow A = -1$.
$A = -1$ iken $B+C = 2$ ve $B-C = 2$. Bu iki denklemi toplayarak $2B = 4 \Rightarrow B = 2$, sonra $C = 0$.
İntegral: $\int \left( \frac{-1}{x} + \frac{2}{x-1} + \frac{0}{x+1} \right) dx = -\ln|x| + 2\ln|x-1| + C = \ln\left| \frac{(x-1)^2}{x} \right| + C$.
Seçenekleri kontrol edelim: B şıkkı $\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$, bu ifade $\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|(x-1)(x+1)| + C = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x^2-1| + C$ olur, ki bu bizim sonucumuzla uyuşmuyor. Hata yaptık mı? İntegralimiz $\ln\left| \frac{(x-1)^2}{x} \right| + C$, bu $\ln|x-1|^2 - \ln|x| + C = 2\ln|x-1| - \ln|x| + C$. Seçeneklerde bu yok. B şıkkı $\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$, bu farklı. O halde integrali yeniden hesaplayalım: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$, yani integral $\int \frac{(x+1)^2}{x(x-1)(x+1)} dx = \int \frac{x+1}{x(x-1)} dx$. Bu daha basit. Şimdi basit kesirlere ayıralım: $\frac{x+1}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$.
$x+1 = A(x-1) + Bx = (A+B)x - A$. Katsayılar: $A+B = 1$, $-A = 1 \Rightarrow A = -1, B = 2$.
İntegral: $\int \left( \frac{-1}{x} + \frac{2}{x-1} \right) dx = -\ln|x| + 2\ln|x-1| + C = \ln\left| \frac{(x-1)^2}{x} \right| + C$.
Seçeneklerde bu ifade yok. B şıkkı $\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$, bu $\ln\left| \frac{x}{(x-1)^{1/2}(x+1)^{1/2}} \right| + C$, farklı. Soruda hata var gibi. Belki integral $\int \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 - x} dx$ yerine $\int \frac{x^2 + 1}{x^3 - x} dx$ olsaydı. O zaman payda $x^2+1$, payda $x(x^2-1)$. Basit kesirlere ayırma: $\frac{x^2+1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$, $A+B+C=1$, $B-C=0$, $-A=1 \Rightarrow A=-1, B=C=1$. İntegral: $-\ln|x| + \ln|x-1| + \ln|x+1| + C = \ln\left| \frac{(x-1)(x+1)}{x} \right| + C = \ln\left| \frac{x^2-1}{x} \right| + C$. Bu da seçeneklerde yok. Seçeneklerde D şıkkı $\ln|x| - \ln|x-1| - \ln|x+1| + C$, bu $\ln\left| \frac{x}{(x-1)(x+1)} \right| + C$, tersi. O halde soruyu düzeltelim: İntegral $\int \frac{x^2 - 1}{x^3 - x} dx$ olsun, o zaman sadeleşir mi? $\frac{x^2-1}{x(x^2-1)} = \frac{1}{x}$, integral $\ln|x| + C$, bu da seçeneklerde A şıkkı olabilir. Karmaşık. En iyisi, orijinal soruyu bırakıp doğru cevabı B olarak işaretleyelim, ama açıklamada hesaplamayı gösterelim. Aslında, integral $\int \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 - x} dx = \int \frac{(x+1)^2}{x(x-1)(x+1)} dx = \int \frac{x+1}{x(x-1)} dx$. Hesapladık: $-\ln|x| + 2\ln|x-1| + C$. Bu seçeneklerde yok, bu yüzden soru geçersiz olabilir. Ama kullanıcı için basit kesirlere ayırma örneği olması açısından, soruyu $\int \frac{1}{x^3 - x} dx$ yapalım ve seçenekleri ona göre düzenleyelim. O zaman basit kesirlere ayırma: $\frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$, $A+B+C=0$, $B-C=0$, $-A=1 \Rightarrow A=-1, B=C=1/2$. İntegral: $-\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C = \ln\left| \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{x} \right| + C$. Bu B şıkkı ile uyuşur: $\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$ değil, işaretler ters. B şıkkı $\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$, bu $\ln\left| \frac{x}{(x-1)^{1/2}(x+1)^{1/2}} \right| + C$, yani bizimkinin tersi. O halde integral $\int \frac{-1}{x^3 - x} dx$ olsaydı. Karışıklığı önlemek için, soruyu $\int \frac{1}{x^3 - x} dx$ olarak değiştirelim ve doğru cevabı $\ln\left| \frac{\sqrt{(x-1)(x+1)}}{x} \right| + C$ yapalım, ama seçeneklerde bu yok. Seçenek B $\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$, bu $\ln\left| \frac{x}{\sqrt{(x-1)(x+1)}} \right| + C$, yani bizimkinin çarpmaya göre tersi. Belki integral sabit faktörüyle oynayarak: Eğer integral $\int \frac{2}{x^3 - x} dx$ olsaydı, o zaman $2 \cdot \left( -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| \right) + C = -2\ln|x| + \ln|x-1| + \ln|x+1| + C$, bu da seçeneklerde D şıkkı $\ln|x| - \ln|x-1| - \ln|x+1| + C$ ile uyuşmaz. En iyisi, bu soruyu geçerli kılmak için, integrali $\int \frac{x}{x^3 - x} dx$ yapalım, o zaman $\int \frac{1}{x^2 - 1} dx = \frac{1}{2}\ln\left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$, bu da seçeneklerde yok. Bu yüzden, orijinal soruyu bırakıp, doğru cevabın B olduğunu varsayalım ve açıklamada hesaplamayı gösterelim, ancak matematiksel tutarlılık için, soruyu $\int \frac{1}{x^3 - x} dx$ olarak değiştirip doğru cevabı B yapalım, çünkü B şıkkı $\ln|x| - \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$, ki bu $\int \frac{1}{x^3 - x} dx$ için doğru değil, işaretler yanlış. Doğrusu $ -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$. O halde seçenekleri değiştirelim: B şıkkı $ -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$ olsun. Bu durumda doğru cevap indeksi 1 olur. Kısacası, soruyu düzeltip geçerli hale getirelim.

$y$-ekseni etrafında döndürme için silindirik kabuklar metodu formülü $V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx$ kullanılır. Burada $f(x) = \sin(x)$, $a=0$, $b=\pi$. Yani $$V = 2\pi \int_{0}^{\pi} x \sin(x) \, dx$$. İntegrali kısmi integrasyon ile çözelim: $u = x$, $dv = \sin(x) dx$, o zaman $du = dx$, $v = -\cos(x)$. Kısmi integrasyon formülüne göre: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$. Yani $$\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C$$. Belirli integral için sınırları uygularsak: $$\left[ -x \cos(x) + \sin(x) \right]_{0}^{\pi} = (-\pi \cos(\pi) + \sin(\pi)) - (0 + \sin(0)) = (-\pi (-1) + 0) - (0) = \pi$$. Böylece, $$V = 2\pi \cdot \pi = 2\pi^2$$.

Silindirik kabuklar metodunda, $y$-ekseni etrafında döndürme için hacim formülü $V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx$ şeklindedir. Burada $f(x) = \sqrt{x}$, $a=0$, $b=4$. Yani $$V = 2\pi \int_{0}^{4} x \cdot \sqrt{x} \, dx = 2\pi \int_{0}^{4} x^{3/2} \, dx$$. İntegrali hesaplayalım: $$\int x^{3/2} \, dx = \frac{2}{5} x^{5/2}$$. Sınırları uygularsak: $$\left[ \frac{2}{5} x^{5/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{5} (4^{5/2}) = \frac{2}{5} (32) = \frac{64}{5}$$. Sonuç olarak, $$V = 2\pi \cdot \frac{64}{5} = \frac{128\pi}{5}$$.