Soyut Cebir Soru Çözümü

Kapalılık: $a, b \in \mathbb{Z}$ için $a * b = a + b + 1 \in \mathbb{Z}$, dolayısıyla kapalıdır.

Birleşmelilik: $(a * b) * c = (a + b + 1) + c + 1 = a + b + c + 2$ ve $a * (b * c) = a + (b + c + 1) + 1 = a + b + c + 2$, eşit olduğu için birleşmelidir.

Özdeşlik ögesi: $e \in \mathbb{Z}$ öyle ki $a * e = a$ için $a + e + 1 = a \Rightarrow e = -1$. Benzer şekilde $e * a = a$, dolayısıyla $-1$ özdeşlik ögesidir.

Ters öge: Her $a \in \mathbb{Z}$ için $b \in \mathbb{Z}$ öyle ki $a * b = -1$, yani $a + b + 1 = -1 \Rightarrow b = -2 - a$, ve bu bir tam sayıdır.

Bu nedenle $(\mathbb{Z}, *)$ bir gruptur.

Eisenstein indirgenemezlik kriterine göre, bir $f(x) = a_n x^n + \dots + a_0$ tamsayı katsayılı polinomu için, eğer bir asal sayı $p$ bulunabiliyorsa öyle ki $p \nmid a_n$, $p \mid a_i$ for $i < n$, ve $p^2 \nmid a_0$, o zaman $f(x)$ rasyonel sayılar üzerinde indirgenemezdir. Bu polinomda $p=2$ alınırsa: başkatsayı $1$, $2$'ye bölünmez; diğer katsayılar $4, 6, 4, 2$ hepsi $2$'ye bölünür; ve sabit terim $2$, $2^2 = 4$'e bölünmez. Dolayısıyla koşullar sağlanır ve polinom indirgenemez.

Lagrange Teoremi'ne göre, $|G| = |H| \cdot [G:H]$ dir. Verilenlere göre, $24 = |H| \cdot 6$, buradan $|H| = 24 / 6 = 4$ bulunur.