Kütle ve Ağırlık Merkezi Soru Çözümü

Kütle merkezi, parçaların uzunlukları ve ağırlık merkezlerinin koordinatları kullanılarak hesaplanır. X-ekseni boyunca parça: uzunluk $L_x = 6$ cm, ağırlık merkezi $(3, 0)$. Y-ekseni boyunca parça: uzunluk $L_y = 4$ cm, ağırlık merkezi $(0, 2)$. Toplam uzunluk $L = 10$ cm. $$x_{km} = \frac{L_x \cdot x_x + L_y \cdot x_y}{L} = \frac{6 \cdot 3 + 4 \cdot 0}{10} = \frac{18}{10} = 1.8$$ $$y_{km} = \frac{L_x \cdot y_x + L_y \cdot y_y}{L} = \frac{6 \cdot 0 + 4 \cdot 2}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$$ Bu nedenle kütle merkezi $(1.8, 0.8)$ noktasındadır.

Çubuğun kütle merkezini hesaplayalım. İlk yarı: uzunluğu $\frac{L}{2}$, kütlesi $m$, kütle merkezi bu parçanın ortasında: $\frac{L}{4}$. İkinci yarı: uzunluğu $\frac{L}{2}$, kütlesi $2m$, kütle merkezi: $\frac{L}{2} + \frac{L}{4} = \frac{3L}{4}$. Toplam kütle $3m$. Kütle merkezi:

$$x_c = \frac{m \cdot \frac{L}{4} + 2m \cdot \frac{3L}{4}}{3m} = \frac{\frac{mL}{4} + \frac{6mL}{4}}{3m} = \frac{\frac{7mL}{4}}{3m} = \frac{7L}{12}$$

Devrilmemesi için $x \geq x_c = \frac{7L}{12}$ ve $x \leq L$. Aralık: $\frac{7L}{12} \leq x \leq L$.

Orijinal kütle merkezi: $$ x_{km} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{4 \cdot 0 + 1 \cdot 4}{4+1} = \frac{4}{5} = 0.8\,\text{m} $$. $m_2$ kütlesi çıkarıldığında, sistemde sadece $m_1$ kaldığı için kütle merkezi $x=0\,\text{m}$ noktasına gelir. Bu, $0.8\,\text{m}$'den $0\,\text{m}$'e bir kaymadır, yani sola doğru kayar. Çünkü $0.8 > 0$ olduğu için sola.