Soru 1
Kütlesi $M$, yarıçapı $R$ olan bir disk, düşey eksen etrafında sürtünmesiz dönmekte ve başlangıç açısal hızı $\omega_i$'dir. Diskin merkezine, kütlesi $m$ olan küçük bir cisim yapıştırılıyor. Açısal momentum korunumu olduğuna göre, diskin son açısal hızı $\omega_f$ aşağıdakilerden hangisidir?
- A
$\omega_f = \frac{M}{M + m} \omega_i$
- Doğru cevap
$\omega_f = \frac{M}{M + 2m} \omega_i$
- C
$\omega_f = \frac{M}{2M + m} \omega_i$
- D
$\omega_f = \omega_i$ (değişmez)
- E
$\omega_f = \frac{2M}{M + 2m} \omega_i$
Çözüm
Açısal momentum korunumu ilkesine göre, başlangıç ve son açısal momentumlar eşittir:
$$L_i = L_f$$
$$I_i \omega_i = I_f \omega_f$$
Diskin eylemsizlik momenti $I_i = \frac{1}{2} M R^2$'dir. Cismin diske yapıştıktan sonraki eylemsizlik momenti, cismin merkeze uzaklığı $R$ olduğundan $m R^2$ olarak eklenir:
$$I_f = \frac{1}{2} M R^2 + m R^2 = R^2 \left(\frac{1}{2} M + m\right)$$
Buradan,
$$\omega_f = \frac{I_i}{I_f} \omega_i = \frac{\frac{1}{2} M R^2}{R^2 \left(\frac{1}{2} M + m\right)} \omega_i = \frac{\frac{1}{2} M}{\frac{1}{2} M + m} \omega_i = \frac{M}{M + 2m} \omega_i$$