Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket Soru Çözümü

Bir boyutta sabit ivmeli harekette, cisim doğrusal yolda hareket ettiği için aldığı yol ile yer değiştirmesi aynıdır. Yol, cismin izlediği yörüngenin uzunluğudur; yer değiştirme ise başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki vektörel farktır. Doğrusal harekette, eğer cisim hiç yön değiştirmezse (geri dönmezse) bu ikisi eşittir. Bu soruda, hız-zaman grafiğinden ivme pozitif olduğu için cisim sürekli aynı yönde hareket eder, dolayısıyla fark $0$'dır. Grafik altında kalan alan (trapez) hem yolu hem yer değiştirmeyi verir: $$\Delta x = \text{alan} = \frac{(10+30)}{2} \cdot 4 = 80 \, \text{m}$$ Her ikisi de $80$ m'dir, fark $0$.

A aracı sabit hızlı: $$x_A = 20t$$ B aracı için: batı yönü negatif olduğundan, hız $-30\,\text{m/s}$, fren yapınca ivme hıza zıt yönde yani doğu yönünde $+2\,\text{m/s}^2$. Konum denklemi: $$x_B = 400 - 30t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot t^2 = 400 - 30t + t^2$$ Karşılaşma: $$20t = 400 - 30t + t^2$$ $$t^2 - 50t + 400 = 0$$ Çözüm: $$t = \frac{50 \pm \sqrt{50^2 - 4 \cdot 400}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{2500-1600}}{2} = \frac{50 \pm \sqrt{900}}{2} = \frac{50 \pm 30}{2}$$ İlk karşılaşma için $t=10\,\text{s}$ (diğer kök $t=40\,\text{s}$ daha sonradır). Konum: $$x = 20 \cdot 10 = 200\,\text{m}$$

Hareketi iki aşamada inceleyelim. İlk aşama: Hızlanma. Başlangıç hızı $ v_0 = 0 $, ivme $ a_1 = 2\, \text{m/s}^2 $, zaman $ t_1 = 5\, \text{s} $. Son hızı bulalım: $$ v_1 = v_0 + a_1 t_1 = 0 + 2 \times 5 = 10\, \text{m/s} $$ Yer değiştirmeyi zamansız hız denklemi ile hesaplayalım: $$ v_1^2 = v_0^2 + 2a_1 \Delta x_1 $$ $$ (10)^2 = 0 + 2(2) \Delta x_1 $$ $$ 100 = 4 \Delta x_1 $$ $$ \Delta x_1 = 25\, \text{m} $$ İkinci aşama: Yavaşlama. Başlangıç hızı $ v_1 = 10\, \text{m/s} $, son hız $ v_2 = 0 $, ivme $ a_2 = -1\, \text{m/s}^2 $. Zamansız hız denklemi: $$ v_2^2 = v_1^2 + 2a_2 \Delta x_2 $$ $$ 0 = (10)^2 + 2(-1) \Delta x_2 $$ $$ 0 = 100 - 2 \Delta x_2 $$ $$ 2 \Delta x_2 = 100 $$ $$ \Delta x_2 = 50\, \text{m} $$ Toplam yer değiştirme: $$ \Delta x_{\text{toplam}} = \Delta x_1 + \Delta x_2 = 25 + 50 = 75\, \text{m} $$