Sözel Mantık Soru Çözümü

Hem Matematik hem Fizik (M∩F) kesişiminin en az kaç olabileceğini bulmak için, toplam öğrenci sayısını minimize ederek bu kesişimi de minimize etmeliyiz. Verilenler: |M|=15, |F|=12, |K|=10. Yalnız bir kulübe üye olan öğrenci sayısı en az 5. Tüm öğrenciler en az bir kulübe üye. M∩F kesişimini minimum yapmak istiyoruz.

Toplam öğrenci sayısı T olsun. İçerme-dışarma prensibi:

$$T = |M| + |F| + |K| - |M\cap F| - |F\cap K| - |M\cap K| + |M\cap F\cap K|$$

Veya, yalnız bir kulüptekileri de kullanabiliriz. M∩F'yi minimum yapmak için, örtüşmeyi minimize etmeliyiz, yani diğer kesişimleri ve üçlü kesişimi mümkün olduğunca küçük almalıyız. En küçük M∩F değeri 0 olabilir mi? Yani hiç kimse hem Matematik hem Fizik kulübünde olmasın. Bu mümkün müdür? Koşulları kontrol edelim. |M|=15, |F|=12, |K|=10. Eğer M∩F=0 ise, o zaman Matematik ve Fizik kulüpleri ayrık kümeler olur. Ama her öğrenci en az bir kulübe üye, ve Kimya kulübü var. Üçlü kesişim de 0 olabilir. Diğer kesişimler, M∩K ve F∩K, sıfır olabilir mi? Eğer tüm kesişimler 0 ise, o zaman her öğrenci yalnız bir kulüptedir. Toplam öğrenci sayısı T = 15+12+10 = 37. Yalnız bir kulüptekiler de 37, bu en az 5 koşulunu sağlar (37 ≥ 5). O halde M∩F=0 mümkün. Peki daha küçük yapamayız, negatif olamaz. O halde minimum 0 olabilir. Ama soruda 'en az kaç öğrenci hem Matematik hem Fizik kulüplerine üye olabilir?' yani minimum mümkün değer soruluyor. 0 mümkün. Seçeneklerde 0 var (A şıkkı).

Kontrol: Eğer M∩F=0, ve diğer kesişimler de 0, ve üçlü kesişim 0 ise, tüm öğrenciler yalnız bir kulüptedir, ve sayılar toplamı 37, yalnız bir kulüptekiler 37, en az 5 koşulu sağlanır. Bu durumda hem Matematik hem Fizik üyesi yoktur. O halde minimum 0'dır.

Ancak, acaba yalnız bir kulüptekiler en az 5 koşulu, bu durumda 37 ile sağlanır, bir sorun yok. Belki başka bir kısıt daha var? Örneğin, toplam öğrenci sayısı için bir şey söylenmemiş, o halde 37 mümkün. O zaman doğru cevap 0.

Açıklama: Minimum kesişim için, kümeleri ayrık tutabiliriz, yani hiçbir örtüşme olmayacak şekilde düzenleyebiliriz. Bu durumda hem Matematik hem Fizik üyesi olmaz, yani M∩F=0. Yalnız bir kulüptekiler sayısı da toplam öğrenci sayısına eşit olur ve en az 5 koşulu sağlanır.

Davut'un Futbol takımında olduğu verilmiştir. Cemil, Davut ile aynı takımda olduğu için Cemil de Futbol takımındadır. Ahmet ve Cemil aynı takımda olmadığı için Ahmet Basketbol takımındadır. "Ahmet Futbol takımındadır ancak ve ancak Bekir Basketbol takımındaysa" koşuluna göre, Ahmet Basketbol olduğu için Ahmet Futbol değildir, dolayısıyla Bekir Basketbol değildir, yani Bekir Futbol takımındadır. Bu nedenle, kesinlikle Basketbol takımında olan kişi Ahmet'tir.

Koşul 1: Ali Futbol veya Basketbol yapar. Koşul 5: Ali Basketbol yapmaz. Bu iki koşul birlikte değerlendirildiğinde, Ali'nin Futbol yapması gerektiği sonucu çıkar. Çünkü ya Futbol ya da Basketbol yapması gereken Ali, Basketbol yapmadığına göre Futbol yapmalıdır.